Родился 28 февраля 1929 г. в стойбище в Ямальской тундре неподалеку от п. Новый Порт Ямало-Ненецкого автономного округа. Одним из самих любимых увлечений детства будущего писателя стали народные песни-предания, которые пели в чумах ненцы-сказители. После смерти отца в 1939 г. остался единственным кормильцем в семье. Чтобы прокормить мать и младших братьев, с десяти лет работал наравне со взрослыми в колхозе «Красный рыбак».
В 1951 г. закончил Новопортовскую семилетнюю школу-интернат, поступил в Салехардское медицинское училище по специальности фельдшер. В первые дни учебы Леонид познакомился с редактором ненецкоязычной страницы «Няръяна Нгэрм» редакции окружной газеты «Красный Север» Иваном Григорьевичем Истоминым. Позже устроился в эту газету переводчиком и нештатным корреспондентом. Попав под влияние И. Г. Истомина, Лапцуй начал писать стихи и рассказы (позже он посвятит Истомину поэму — «Ири»). В 1952 г. Лапцуй показал Истомину свой первый рассказ «В снегах песцовых», который получил высокую оценку. По окончании училища в 1954 г. был направлен в Центральную комсомольскую школу при ЦК ВЛКСМ в Москву. В 1960 г. Леонид Васильевич вступил в Союз журналистов СССР. В это время в Тюменском книжном издательстве вышла его первая книга стихов «Цвети мой Ямал!» на ненецком языке, в это время учился Высшей партийной школе в Свердловске. В 1964 г. принят в Союз писателей СССР. С 1964 по 1968 год работал инструктором отдела пропаганды и агитации окружкома КПСС. Был инструктором орготдела Ямало-Ненецкого окрисполкома в 1968—1974 гг. В 1970-х гг. в различных изданиях Советского Союза изданы сразу три поэтических сборника «Голубые снега», «Тундра», «Ири», поэма «Эдейка». В 1974—1982 гг. писатель возглавлял окружную газету «Няръяна Нгэрм» («Красный Север»). В 1981 г. Леонид Васильевич удостоен звания «Заслуженный работник культуры РСФСР». Умер в Салехарде 14 февраля 1982 г. В том же году имя Леонида Васильевича Лапцуя присвоено Салехардскому межокружному училищу культуры и искусств.
В различных издательствах страны вышло более 30 его книг на русском и ненецком языках. Произведения переведены на иностранные языки и языки народов Советского Союза. 1 января 1994 г. в Салехарде открыли музей-квартиру имени писателя. 25 ноября 2015 г. Новопортовской школе-интернату присвоено имя Леонида Васильевича Лапцуя.